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$解:记 AB与y轴交于点C.\ $

$∵点、B关于y轴对称，\ $

$∴A B垂直于y轴,且 AC=BC,\ $

$∴S_{△ AOC} = \frac{1}{2} S_{△AOB} =4.\ $

$∵S_{△ AOC}\ = \frac{1}{2}|2k| ,∴ \frac{1}{2} |2k| =4.\ $

$\ ∵双曲线y= \frac{2k}{x} (x\lt 0)在第二象限，\ $

$∴k=-4.\ $

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