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$证明:(1)∵AB//CD，∴∠B=∠C.\ $

$在△ABE和△DCF中.\begin{cases}{\ ∠B=∠C,\ }\ \\ {\ ∠AEB=∠DFC, } \\{AE=DF,}\end{cases}\ \ $

$∴△ABE≌△DCF(AAS)；$

$(2)∵△ABE≌△DCF.∴∠D=∠A=55°，$

$ ∴∠BFD=∠C+∠D=30°+55°=85°.$

$证明:(1)在△AEF和△DEC中，\ $

$\begin{cases}{AE=DE,\ }\ \\ {\ ∠AEF=∠DEC,\ }\\{FE=CE,} \end{cases}\ $

$∴△AEF≌△DEC(SAS).$

$(2)∵△AEF≌△DEC，∴∠AFE=∠DCE，$

$ ∴AB//CD.又AD//BC，$

$ ∴四边形ABCD为平行四边形$

1或3或13

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$证明:(1)∵E为AC的中点，∴AE=CE.\ \ $

$在△AED和△CEF中，\begin{cases}{ AE=CE, }\ \\ {\ ∠AED=∠CEF, } \\{DE=FE,}\end{cases}\ \ $

$∴△CEF≌△AED(SAS).$

$(2)由(1)，得∠ADE=∠CFE，AD=CF，$

$∴AB//CF.\ $

$又AD=BD，∴BD=CF，\ $

$∴四边形DBCF为平行四边形.\ $