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$根据“孪生质数”的意义，“李生质数”是指相差为2的两个质数$

$20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19$

$由此可知，20以内除了3和5、5和7以外的所有“李生质数”是11和13，17和19。$

奇数

$ 2、3、4、5、6的公倍数有60、120、180、240、300、360、420，···$

$其中在300到350之间加1能被7整除的数只有301，所以这筐鸡蛋共有301个。$

$根据题意可知2的个数可能是4个、5个、6个或7个，因为密码能被3和4整除$

$ 首先考虑每种情况中各个数位上的数之和是不是3的倍数。$

$当有4个2时，数的和为17；当有5个2时，数的和为16；当有6个2时，数的和为15；$

$当有7个2时，数的和为14。$

$一个数，如果各个数位上的数的和是3的倍数，那么这个数也是3的倍数。$

$所以2有6个，3只有1个。$

$经验证，在有6个2和1个3的密码中只有密码为2222232时，才能被4整除$

$答：符合题意的密码为2222232。$

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