解：$(2) ①$当$ \angle B D C=2 \angle B F C $时, 如图,
∵$A B \perp O M， \angle M O N=40°， $
∴$\angle B F C=50°， $
∴$\angle B D C=2 \angle B F C=100°， $
∵$\angle A B O=\angle B F C+\angle B O N=50° +20°=70°，$
∴$\angle B A C=\angle B D C-\angle A B O=100° -70°=30° $
∴$α=30° ；$
②当点$ C $在$ F $左边$， \angle D B F=2 \angle D C F $时,
∵$A B \perp O M， \angle A O B=20°， \angle M O N=40°， $
∴$\angle D B F=\angle A O B+\angle O A B=20° +90°=110° ， \angle B F C=50°， $
∴$\angle D C F=\frac {1}{2} \angle D B F=55°， $
∴$\angle B A C=180°-\angle B F C-\angle A C F =180°-50°-55°=75° $
∴$α=75° ；$
③当点$ C $在$ F $右边$， \angle D B F=2 \angle D C F $时,
∵$A B \perp O M， \angle A O B=20°， \angle M O N=40°， $
∴$\angle D B F=\angle A B O=90°-\angle A O B =90°-20°=70° ， \angle A F O=50°， $
∴$\angle D C F=\frac {1}{2} \angle D B F=35°， \angle A F C=130°， $
∴$\angle B A C=180°-\angle D C F-\angle A F C =180°-35°-130°=15° $
∴$α=15° ；$
综上所述, 当四边形$ D C F B $为 “完美四边形” 时, α 的值是$ 30° $或$ 75° $或$ 15° .$
