证明：$(1)∵$四边形$ABCD$内接于$⊙O.$
$∴∠ABC+∠ADC=180°，$
$∵∠ABC=60°，$
$∴∠ADC=120°，$
$∵DB$平分$∠ADC，$
$∴∠ADB=∠CDB=60°，$
$∴∠ACB=∠ADB=60°，$$∠BAC=∠CDB=60°，$
$∴∠ABC=∠BCA=∠BAC，$
$∴△ABC$是等边三角形.
$(2)$解：过点$A$作$AE⊥CD$于点$E，$
$∴∠AED=90°，$
∵四边形$ABCD$为圆内接四边形，
$∴∠ADC=180°-∠ABC=120°，$
$∴∠ADE=60°，$
$∴∠DAE=30°，$
$∴DE=\frac {1}{2}AD=1，$
$∴AE=\sqrt {AD^2-DE^2}=\sqrt {3}，$
$∵CD=3，$
$∴CE=CD+DE=3+1=4，$
在$Rt△AEC$中，$∠AED=90°，$
$∴AC=\sqrt {AE^2+CE^2}=\sqrt {19}，$
$∵△ABC$是等边三角形，
$∴AB=BC=AC=\sqrt {19}，$
$∴△ABC$的周长为$3\sqrt {19}.$
