解：$(2)$在$PC$上截取$PD=AP，$连接$AD，$如图$1：$
∵∠APC=60°，
$∴△APD$是等边三角形，
$∴AD=AP=PD，$$∠ADP=60°，$$∠ADC=120°.$
$∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，$
$∴∠ADC=∠APB.$
在$△APB$和$△ADC$中，$∠APB=∠ADC，$$∠ABP=∠ACD，$$AP=AD，$
$∴△APB≌△ADC，$
$∴BP=CD.$
又$∵PD=AP，$
$∴PC=PA+PB.$
$(3)$当点$P$为$\widehat{AB}$的中点时，四边形$APBC$的面积最大.
理由如下：如图$2，$过点$P$作$PE⊥AB，$垂足为$E，$过点$C$作$CF⊥AB，$垂足为$F.$
$∵S_{△APB}=\frac {1}{2}AB·PE，$$S_{△ABC}=\frac {1}{2}AB·CF，$
$∴S_{四边形APBC}=\frac {1}{2}AB·(PE+CF).$
当点$P$为$\widehat{AB}$的中点时，$PE+CF=PC，$$PC$为$⊙O$的直径，
∴此时四边形$APBC$的面积最大.
$∵⊙O$的半径为$1，$
∴其内接正三角形的边长$AB=\sqrt{3}，$
$∴S_{四边形APBC}=\frac {1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}.$
