解：$(1)∵$原方程有两个实数根，
$∴[-(2k+1)]^2-4(k^2+2k)≥0，$
$∴4k^2+4k+1-4k^2-8k≥0$
$∴1-4k≥0，$
$∴k≤\frac {1}{4}，$
∴当$k≤\frac {1}{4}$时，原方程有两个实数根.
$(2)$假设存在实数$k$使得$x_1•x_2−x_1^2−x_2^2≥0$成立.
$∵x_1，$$x_2$是原方程的两根，
$∴x_1+x_2＝2k+1，$$x_1•x_2＝k^2+2k.$
由$x_1•x_2−x_1^2−x_2^2≥0，$
得$3x_1•x_2−(x_1+x_2)^2≥0.$
$∴3(k^2+2k)-(2k+1)^2≥0，$整理得：$-(k-1)^2≥0，$
∴只有当$k=1$时，上式才能成立.
又由$(1)$知$k≤\frac {1}{4}，$
∴不存在实数$k$使得$x_1•x_2−x_1^2−x_2^2≥0$成立.
