解：如图，连接$OA、$$OB、$$OF，$设$OB$交$AF$于点$G$
$ ∵AB⊥CD，$$CD$是直径
$ ∴AE=BE=\frac 1 2AB=3$
设$⊙O$的半径为$r，$则$OE=r-1，$$OA=r$
在$Rt△OAE$中，由勾股定理，得${3}^2+{(r-1)}^2={r}^2$
解得，$r=5$
$ ∵{\widehat{AB}}={\widehat{BF}}$
$ ∴∠AOB=∠FOB$
$ ∵AO=FO$
$ ∴OB⊥AF，$$AF=2AG$
设$OG=t$
∴在$Rt△AGO$中，${AG}^2={5}^2-{t}^2$
在$Rt△AGB$中，${AG}^2={6}^2-{(5-t)}^2$
$ ∴{5}^2-{t}^2={6}^2-{(5-t)}^2$
解得，$t=\frac 7 5$
$ ∴AG=\sqrt {{5}^2-{(\frac 7 5)}^2}=\frac {24}5$
$ ∴AF=2AG=\frac {48}5$
