第120页 - 通城学典课时作业本九年级数学苏科版江苏专版

解：$(1)∵∠ADE=40°，$

$∴∠AOE=2∠ADE=80°，$

$∴∠EOB=180°-∠AOE=100°，$

$∵AB=4，$

$∴⊙O$半径长是$2，$

$∴\widehat{BE}$的长$=\frac {100π×2}{180}=\frac {10π}{9}.$

$(2)$证明：$∵∠EAB=\frac {1}{2}∠EOB=50°，$

$∴∠BAC=∠EAD-∠EAB=76°-50°=26°，$

$∵∠C=64°，$

$∴∠C+∠BAC=90°，$

$∴∠ABC=180°-(∠C+∠BAC)=90°，$

∴直径$AB⊥BC，$

$∴CB$为$⊙O$的切线.

证明：如图，$∵AB⊥CD$

$ ∴∠AOC=90°$

$ ∴AC$是$⊙O$的内接正方形的一边

连接$OE，$$∵OA=AE=OE$

$ ∴△AOE$为等边三角形

$ ∴∠AOE=60°$

$ ∴AE$是$⊙O$的内接正六边形的一边

$ ∵∠AOE=60°$

$ ∴∠EOC=90°-60°=30°$

$ ∴CE$是$⊙O$的内接正十二边形的一边

连接$OF，$∵易知$∠AOF=60°$

$ ∴∠EOF=60°×2=120°$

$ ∴EF$是$⊙O$的内接正三角形的一边

证明：$(1)$连接$OD. $

$∵ OA=OD，$

$∴ ∠OAD=∠ODA.$

$∵ AD$平分$∠BAC，$

$∴ ∠OAD=∠BAD，$

$∴ ∠ODA=∠BAD，$

$∴ OD//AB，$

$∴ ∠ODC=∠B=90°，$

$∴ OD⊥BC.$

$∵ OD$是$⊙O$的半径，

$∴ BC$是$⊙O$的切线.

$(2)$连接$OF、$$DE.$

$∵ ∠B=90°，$$∠ADB=60°，$

$∴ ∠BAD=30°，$

$∴ AD=2BD=10. $

$∵ AE$是$⊙O$的直径，

$∴ ∠ADE=90°. $

$∵ AD$平分$∠BAC，$

$∴ ∠DAE=∠BAD=30°，$

$∴ DE= \frac {1}{2}\ \mathrm {AE}. $

∵ 在$Rt∠ADE$中，$DE²+AD²=AE²，$

$∴ ( \frac {1}{2}\ \mathrm {AE})²+10²=AE²，$

解得$AE =\frac {20\sqrt{3}}{3} ($负值舍去)，

$∴ OA= \frac {1}{2}\ \mathrm {AE}= \frac {10\sqrt{3}}{3} . $

$∵ AD$平分$∠BAC，$

$∴ ∠BAC=2∠BAD=60°. $

$∵ OA=OF，$

$∴ △AOF$是等边三角形，

$∴ ∠AOF=60°. $

$∵ OD//AB，$

$∴ S_{△ADF}=S_{△AOF}，$

$∴ S_{涂色}=S_{扇形}OAF= \frac {60π×(\frac {10\sqrt{3}}{3})²}{360}=\frac {50π}{9}.$