解：$(1)$直线$AC$与$⊙O$相切，理由如下：
$∵∠ABC=45°，$$AB=AC，$
$∴∠ABC=∠C=45°，$
$∴∠BAC=180°-2×45°=90°，$
$∴BA⊥AC，$
$∵AB$是$⊙O$的直径，
∴直线$AC$与$⊙O$相切.
$(2)$连接$OD，$$AD，$
$∵AB$是$⊙O$的直径，
$∴∠ADB=90°，$
$∵∠ABD=45°，$
$∴△ABD$是等腰直角三角形，$∠AOD=90°，$
$∵AO=OB，$$AB=4，$
$∴S_{△ABD}=\frac {1}{2}•AB•OD=\frac {1}{2}×4×2=4，$
∴图中阴影部分的面积$=S_{△ABC}-S_{△BOD}-S_{扇形OAD}$
$=\frac {1}{2}×4×4-\frac {1}{2}×4-\frac {90π×2^2}{360}$
$=8-2-π$
$=6-π.$
