第39页 - 通城学典课时作业本八年级数学人教版南通专版

解$：AP=AQ，AP⊥AQ $

$∵ CE⊥AB，BD⊥AC，$

$∴∠ADB=∠AEC=90°.$

$∴∠ABD=∠ACQ=90°-∠BAC.$

在$△APB$和$△QAC$中,

$\begin{cases}{PB=AC}\\{∠ABP=∠QCA，}\\{AB=QC}\end{cases}$

$∴△APB≌△QAC. $

$∴ AP=QA，∠BAP=∠CQA.$

$∵∠CQA+∠QAE=90°，$

$∴∠BAP+∠QAE=90°，$

即$AP⊥AQ$

解：$(1)∵∠BAC=90°，$$∠ABC=60°，$

$∴∠ACB=180°-90°-60°=30°.$

$∵AD，$$CE$分别平分$∠BAC，$$∠ACB，$

$∴∠CAO=\frac {1}{2}∠BAC=45°，$$∠ACO=\frac {1}{2}∠ACB=15°，$

$∴∠AOE=∠CAO+∠ACO=45°+15°=60°.$

$(2)$在$AC$上截取$AF=AE，$连接$OF，$如图所示：

$∵AD$平分$∠BAC，$

$∴∠BAD=∠CAD.$

在$△AOE$和$△AOF $中，

$\{ \begin{array}{l}{AE=AF} \\{∠EAO=∠FAO} \\{AO=AO} \end{array}，$

$∴△AOE≌△AOF，$

$∴∠AOE=∠AOF，$

由$(1)$知$∠AOE=60°，$

$∴∠AOF=60°，$$∠COD=60°，$

$∴∠COF=180°-∠AOF-∠COD=180°-60°-60°=60°.$

在$△COF $和$△COD$中，

$\{ \begin{array}{l}{∠FOC=∠DOC } \\{CO=CO} \\{∠FCO=∠DCO} \end{array}，$

$∴△COF≌△COD，$

$∴CF=CD，$

$∴AC=AF+CF=AE+CD.$

证明$：(1)∵AE//DF.$

$∴∠A=∠D.$

$∵AB=CD.$

$∴AB+BC=CD+BC，$

即$AC=DB.$

在$△AEC$和$△DFB$中。

$\begin{cases}{AE=DF}\\{∠A=∠D}\\{AC=DB}\end{cases}$

$∴△AEC≌△DFB$

$(2) $如图.过点$E$作$EH⊥AC.$

$∴ S_{△AEC}=\frac {1}{2}×EH×AC，S_{△BCE}=\frac {1}{2}×EH ×BC. $

$∵ AB=\frac {1}{3}BC，$

$∴ AC=\frac {4}{3}\ \mathrm {BC}. $

$∵ S_{△AEC}=6，$

$∴ S_{△BEC}=\frac {3}{4}\ \mathrm {S}_{△ABC}=4.5.$

$∵ △AEC≌△DFB，$

$∴ ∠ACE=∠DBF，EC=FB. $

在$△BEC$和$△CFB $中，

$\begin{cases}{EC=FB}\\{∠BCE=∠CBF，}\\{BC=CB}\end{cases}$

$∴ △BEC≌△CFB.$

$∴S_{△BEC}=S_{△CFB}.$

$∴ S_{四边形}BECF=2S_{△BEC}=9$

$$