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第43页

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$(4，2)$

70°

6

解$： (1)∵DE$是$AB$的垂直平分线,

$∴AD=BD.$

$∴△ABC$的周长为$AB+ BC +AC=AB+ BD+DC+AC$

$=AB+(AD+DC +AC)= 12+16=28$

$(2) $设$∠CAD=2x°，$

则$∠DAB=5x$

在$Rt△DEB $和$Rt△DEA $中

$\begin{cases}{BD=AD，}\\{DE=DE，}\end{cases}$

$∴ Rt△DEB≌Rt△DEA. $

$∴ ∠B = ∠DAE = 5x°. $

$∴∠ADC= ∠B +∠DAE=10x°.$

在$△ADC$中，$∵∠C=90°，$

$∴2.x°+10x°=90°，$

解得$x=7.5.$

$∴∠ADC=75°$

证明：$(1)$连接$BD，$

$∵AD$平分$∠BAC，$$DM⊥AB，$$DN⊥AC，$

$∴DM=DN，$

$∵DE$是$BC$的垂直平分线，

$∴DB=DC，$

在$Rt△BMD$和$Rt△CND$中，

$\begin{cases}{DM=DN}\\{BD=DC}\end{cases}$

$∴Rt△BMD≌Rt△CND(\mathrm {HL})，$

$∴BM=CN.$

$(2)$在$Rt△AMD$和$Rt△AND$中，

$\begin{cases}{DM=DN}\\{AD=AD}\end{cases}$

$∴Rt△AMD≌Rt△AND(\mathrm {HL})，$

$∴AM=AN，$

$∵BM=CN，$

$∴AB-AM=AN-AC，$

$∴AB+AC=AN+AM，$

$∴AB+AC=2AM，$

$∴AM=\frac {1}{2}(AB+AC).$

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