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解：$(1)$当$2k+1=0，$即$k=-\frac 12$时，该方程是一元一次方程
这个方程的根为$x=\frac 34$
$(2)$当$2k+1≠0，$即$k≠-\frac 12$时，该方程是一元二次方程
二次项系数是$2k+1，$一次项系数是$-4k，$常数项是$k-1$
解：$(1)$由题意，得$\frac 12x^2×6=27，$整理，得$x^2-9=0$
$(2)$由题意，得$x(\frac {20}2-x)=24，$整理，得$x^2-10x+24=0$
$(3)$由题意，得$a(a-3)=60，$整理，得$a^2-3a-60=0$
解：$(1)$一元二次方程$3x²-4x-7=0$是“凤凰方程” ，理由：
由题意，得$a=3，$$b=-4，$$c=-7$
∴$ a-b+c=3-(-4)+(-7)=0$
∴ 一元二次方程$3x²-4x-7=0$是“凤凰方程”
$(2) $∵$ 2x²-mx+5=0$是关于$x$的“凤凰方程”
∴$ 2-(-m)+5=0$，
∴
$ m=-7$
解：由题意，得$a²-2024a+1=0$
∴$a≠0，$$a²=2024a-1，$$a²+1=2024a$
∴$a²-2023a+\frac {2024}{a²+1}=2024a-1-2023a+\frac {2024}{2024a}=a-1+\frac {1}{a}=\frac {a²+1}{a}-1=\frac {2024a}{a}-1=2023$
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