解：$(1)$由题意，得$AB=AO=2，$$∠OAB=90°$
如图，过点$A$作$x$轴的垂线，垂足为$D，$则$∠ADO=90°$
∵旋转角为$60°$
∴$∠AOD=90°-60°=30°$
∴在$Rt△AOD$中，$AD=\frac 12AO=1$
∴易得$DO=\sqrt {3}$
∴点$A$的坐标$(-\sqrt {3}，$$1)$
$(2)$如图，连接$BO，$过点$B$作$BD⊥y$轴于点$D$
∵在正方形$OABC$中，$∠AOB=45°，$旋转角为$75°$
∴$∠BOD=75°-45°=30°$
∵$∠OAB=90°，$$AB=AO=2$
∴易得$BO=2\sqrt {2}$
∴在$Rt△BOD$中，$BD=\frac 12BO=\sqrt {2}$
∴$OD=\sqrt {BO^2-BD^2}=\sqrt {6}$
∴点$B$的坐标为$(-\sqrt {2}，$$-\sqrt {6})$
