第81页 - 通城学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

解：$(1)$∵$△ABC$是等边三角形

∴$AB=AC，$$∠CAB=60°$

∵$△ACD$绕点$A$按顺时针方向旋转得到$△ABE$

∴$∠CAB=∠DAE=60°，$$△ABE≌△ACD$

∴$∠E=∠ADC$

∵$∠BFD=97°=∠AFE$

∴$∠E=180°-97°-60°=23°$

∴$∠ADC=∠E=23°$

$(2)$如图，连接$DE$

由$(1)，$可得$∠DAE=60°，$$△ABE≌△ACD$

∴$BE=CD=5，$$AE=AD$

∴$△AED$是等边三角形

∴$∠ADE=60°，$$AD=DE$

∵$∠BDC=7°，$$∠ADC=23°$

∴$∠BDE=90°$

∴在$Rt△BDE，$$DE=\sqrt {BE^2-BD^2}=\sqrt {5^2-3^2}=4$

∴$AD=DE=4$

$(1)$解：由旋转，可知$∠ACD=α，$$CA=CD$

∴$ ∠ADC=\frac {1}{2} (180°-α)=90°- \frac {1}{2} α$

∵$ CA=CB$

∴$ CD=CB$

∴$ ∠CDB= \frac {1}{2} (180°-∠BCD)$

∵ 易得$∠BCD=90°-α$

∴$ ∠CDB=45°+ \frac {1}{2} α$

∴$ ∠ADB=∠ADC+∠CDB=135°$

$(2)$证明：∵$∠ADB=135°$

∴$∠BDF=180°-135°=45°$

∵$ CD=CB，$$CF⊥BD$

∴$ CF$是$BD$的垂直平分线

∴$ DF=FB$

∴$∠FDB=∠FBD=45°$

∴$ ∠BFD=90°$

∴$ △BFD$是等腰直角三角形

解：$(1)$∵四边形$ABCD$是正方形

∴$∠BAD=90°，$$AB=AD=BC=CD$

∵将线段$AB$按顺时针方向旋转$α(0°<α<90°)，$得到线段$AE$

∴$∠EAB=α，$$AB=AE$

∴$AE=AD，$$∠EAD=90°+α$

∴$∠AED= \frac {180°-(90°+α)}{2} =45°- \frac {1}{2}α$

∵$AE=AB，$$∠EAB=α$

∴$∠AEB= \frac {180°-α}{2} =90°- \frac {1}{2}α$

∴$∠DEB=∠AEB-∠AED=(90°- \frac {1}{2}α)-(45°- \frac {1}{2}α)=45°$

$(2)$补全图形如图所示

$DE= \sqrt {2}CF$

如图，过点$C$作$CG⊥CF，$交$FD$的延长线于点$G$

∵四边形$ABCD$是正方形

∴$BC=CD，$$∠BCD=90°$

∵$BF⊥DE$

∴$∠BFC+∠CFD=∠BFD=90°$

∵$CG⊥CF$

∴易得$∠CFD+∠G=90°$

∴$∠BFC=∠G$

∵$∠BCD=∠FCG=90°$

∴易得$∠BCF=∠DCG$

∵$BC=CD$

∴$△BCF≌△DCG$

∴$BF=DG，$$CF=CG$

∴$△FCG $是等腰直角三角形

∴易得$FG=\sqrt {2}CF$

由$(1)，$知$∠DEB=45°$

∴易得$△BEF $是等腰直角三角形

∴$EF=BF$

∴$EF=DG$

∴$EF+FD=DG+FD，$即$ DE=FG$

∴$DE=\sqrt {2}CF$