$(1)$证明：连接$OD，$则$OD=OB$
∴$∠ODB=∠B$
∵$AB=AC$
∴$∠C=∠B$
∴$∠ODB=∠C$
∴$OD//AC$
∵$DE⊥AC$
∴$∠ODE=∠CED=90°$
∴$DE⊥OD$
∵$OD$是$\odot O$的半径
∴$DE$是$\odot O$的切线
$(2)$解：连接$AD$
∵$ AB$是$⊙O$的直径
∴$∠ADB=90°$
∴$ AD⊥BC$
∵$ AB=AC，$$CD=2 \sqrt {3}$
∴$BD=CD=2 \sqrt {3}$
∵$ ∠B=∠C=30°$
∴ 易得$AD=2$
∵$OD=OA，$$∠AOD=2∠B=60°$
∴$△AOD$是等边三角形
∴$OD=AD=2$
∵$∠BOD=180°-∠AOD=120°$
∴$ \widehat{BD}$的长是$\frac {120π×2}{180}=\frac {4π}3$
