第136页 - 通城学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

解：$(1)$∵在矩形$CEFD$中，$CD//EF$

∴$∠CD'E=∠DCD'=α$

取$CD'$的中点$H，$连接$EH$

∵在矩形$CEFD$中，$∠DCE=∠FEC=90°$

∴$EH=CH=\frac 12CD'=1$

∴$ CE= EH=CH=1$

∴$△CEH$为等边三角形

∴$∠D'CE=60°$

∴$α=90°-60°=30° $

$(2) $由旋转，得$CD'=CD，$$CE'=CE=1$

∵$G$为$BC$的中点

∴$ CG= BG=\frac 12BC= 1$

∴$ CG=CE'$

∵在正方形$ABCD$中，$∠DCG=90°，$在矩形$CE'F'D'$中，$∠D'CE'= 90°$

∴$∠D'CG=∠DCG+∠DCD'=90°+α，$$∠DCE'=∠D'CE'+∠DCD'= 90°+α$

∴$∠ D'CG=∠DCE'$

又∵$ CD'= CD$

∴$△GCD'≌△E'CD$

∴$GD'=E'D $

$(3)$能，$α=135°$或$315° $

解：$(1)$由旋转的性质得$DM=DE，$$∠MDE=2α$

∵$∠C=α$

∴$∠DEC=∠MDE-∠C=α$

∴$∠C=∠DEC$

∴$DE=DC$

∴$DM=DC，$即$D$是$MC$的中点

$(2)$如图，延长$FE$到点$H，$使$EH=FE，$连接$CH，$$AH，$$AF$

∵$ DF=DC$

∴$ DE$是$△FCH$的中位线

∴$ DE//CH，$$CH=2DE$

由旋转的性质，得$DM=DE，$$∠MDE=2α$

∴$∠FCH=2α$

∵$∠B=∠BCA=α$

∴$∠ACH=α，$$△ABC$是等腰三角形

∴$∠B=∠ACH，$$AB=AC$

设$DM=DE=m，$$CD=n，$则$CH=2m，$$CM=m+n，$$DF=CD=n$

∴$ FM=DF-DM=n-m$

∵$AM⊥BC$

∴$ BM=CM=m+n$

∴$ BF=BM-FM=m+n-(n-m)=2m$

∴$CH=BF$

在$△ABF $和$△ACH $中

$\begin{cases}{AB=AC}\\{∠B=∠ACH}\\{BF=CH}\end{cases}$

∴$△ABF≌△ACH$

∴$AF=AH$

∵$FE=EH$

∴$AE⊥FH，$即$∠AEF=90°$