第12页 - 通城学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

$ (1) $证明：∵四边形$ABCD$是矩形

∴$AD//BC，$$ AO=CO$

∴$∠ AEO=∠CFO$

在$△AOE$和$△COF$中

$\begin{cases}∠AEO=∠CFO\\∠AOE=∠COF\\AO=CO\end{cases}$

∴$\triangle A O E≌ \triangle C O F $

$(2) $解：当$ α=90° $时，四边形$ A F C E $为菱形

理由： ∵$\triangle A O E ≌ \triangle C O F$

∴$O E=O F$

又 ∵$A O=C O$

∴四边形$ A F C E $为平行四边形

又 ∵$\angle A O E=α=90°$

∴$A C \perp E F $

∴四边形$ A F C E $为菱形

解：$(1)\ \mathrm {A} E^{\prime}=B F^{\prime} $

∵$O $为正方形$ A B C D $的两条对角线的交点

∴$O A=O B=O D，$$\angle A O B=\angle A O D=90°$

∵$O F=2\ \mathrm {O} A ，$$ O E=2\ \mathrm {O} D$

∴$O E=O F $

∵将$ \triangle E O F $绕点$ O $按逆时针方向旋转 α得到$ \triangle E^{\prime}\ \mathrm {O} F^{\prime}$

∴$O E^{\prime}=O E=O F=O F^{\prime}，$$ \angle E^{\prime}\ \mathrm {O} F^{\prime}= \angle E O F=90°=\angle A O B $

∴$\angle E^{\prime}\ \mathrm {O} F^{\prime}-\angle A O F^{\prime}=\angle A O B- \angle A O F^{\prime} ，$ 即$ \angle E^{\prime}\ \mathrm {O} A=\angle F^{\prime}\ \mathrm {O} B $

在$ \triangle E^{\prime}\ \mathrm {O} A $和$ \triangle F^{\prime}\ \mathrm {O} B $中

$\begin{cases}O A=O B \\\angle E^{\prime}\ \mathrm {O} A=\angle F^{\prime}\ \mathrm {O} B\\O E^{\prime}=O F^{\prime}\end{cases}$

∴$\triangle E^{\prime}\ \mathrm {O} A ≌ \triangle F^{\prime}\ \mathrm {O} B $

∴$A E^{\prime}=B F^{\prime}$

$(2)$取$ O E^{\prime} $的中点$ G ，$ 连接$ A G ，$ 则$ O G=G E^{\prime}=\frac {1}{2}\ \mathrm {O} E^{\prime}=O D= OA$

∵$α=30°，$$ \angle A O D=90°$

∴$\angle A O E^{\prime}=60° $

∴$\triangle A O G $是等边三角形

∴$A G=O G=G E^{\prime}，$$ \angle G A O=\angle A G O=60° $

∴易得$ \angle G A E^{\prime}=\angle G E^{\prime}\ \mathrm {A}=\frac {1}{2} \angle A G O=30° $

∴$\angle O A E^{\prime}=\angle G A O+ \angle G A E^{\prime}=90° $

∴$\triangle A O E^{\prime} $为直角三角形

解：$(1) $∵$\triangle B O C $绕点$ C $按顺时针方向旋转$ 60° $得到$ \triangle A D C $

∴$\angle O C D=60°，$$ O C=D C $

∴$\triangle C O D $是等边三角形

$(2) $∵$\triangle A B C $为等边三角形

∴$\angle B A O+\angle O A C=60° ，$$ \angle A B O+\angle O B C=60° $

∵$\angle A O B=105°$

∴$\angle B A O+ \angle A B O=180°-105°=75°$

∴$\angle O A C+\angle O B C=60°+60°- 75°=45° $

由旋转，得$ \angle O B C=\angle D A C $

∴$\angle O A D=\angle O A C+ \angle D A C=\angle O A C+\angle O B C=45° $

$(3) $由$(1)，$ 知$ \triangle C O D $是等边三角形

∴$\angle C O D=60° $

由$ (2)，$ 知$ \angle O A D=45° $

当$ O A=O D $时，$ \angle O A D=\angle O D A=45°$

∴$\angle A O D=90° $

∴$α=360°- 105°-60°-90°=105° $

当$ O A=A D $时，$ \angle A O D=\frac {1}{2} ×(180°-45°)=67.5°$

∴$α=360°-105°-60°-67.5°=127.5° $

当$ O D= A D $时，$ \angle A O D=\angle O A D=45°$

∴$α=360°-105°-60°-45°= 150°$

综上所述，当$ α=105° $或$ 127.5° $或$ 150° $时，$ \triangle A O D $是等腰三角形