解：$(1)$令$y=0，$得$x²-2ax-3a²=0$
解得$x_1=-a，$$x_2=3a$
∴易得$A(-a，$$0)，$$B(3a，$$0)$
∴$OA=a，$$OB=3a$
令$x=0，$得$y=-3a²$
∴$C(0，$$-3a²)$
∴$OC=3a²$
∵$OC=3OA$
∴$3a²=3a$
∵$a>0$
∴$a=1$
$ (2)$当$a=1$时，抛物线对应的函数解析式为$y=x²-2x-3$
∵$M(m，$$n)，$$N(n，$$m)$是抛物线上两个不重合的点
∴$\begin{cases}{\mathrm {m^2}-2m-3=n}\\{n²-2n-3=m}\end{cases}，$解得$\begin{cases}{m_1=\dfrac {1-\sqrt {17}}2}\\{n_1=\dfrac {1+\sqrt {17}}2}\end{cases}，$$\begin{cases}{m_2=\dfrac {1+\sqrt {17}}2}\\{n_2=\dfrac {1-\sqrt {17}}2}\end{cases}$
∴$m-n=- \sqrt {17} $或$ \sqrt {17}$
$ (3)$如图，连接$PA，$作$△PAQ $的外接圆$\odot G，$连接$GQ，$$GP，$$AG$
过点$G$作$x$轴的平行线，交抛物线的对称轴于点$L，$过点$A$作$AK⊥GL，$交$LG$的延长线于点$K$
∵抛物线对应的函数解析式为$y=x²-2x-3$
∴抛物线的对称轴为直线$x=1，$$A(-1，$$0)，$$B(3，$$0)，$$C(0，$$-3)$
设点$G $的坐标为$(c，$$d)，$点$P $的坐标为$(1，$$t)$
∵$∠AQP=45°$
∴$∠PGA=90°，$且$PG=AG=QG$
∵易得$∠AGK+∠PGL=90°，$$∠GP_L+∠PGL=90°$
∴$∠AGK=∠GP_L$
∴$△AGK≌△GP_L$
∴$AK=GL，$$GK=P_L，$即$-d=1-c，$$c+1=t-d，$即$d=c-1，$$t=2c$
∴点$G $的坐标为$(c，$$c-1)，$点$P $的坐标为$(1，$$2c)$
由点$B，$$C$的坐标，得直线$BC$对应的函数解析式为$y=x-3$
设点$Q $的坐标为$(q，$$q-3)$
由$GA=GQ，$得$(c+1)²+(c-1)²=(c-q)²+(c-1-q+3)²$
整理，得$q²-2(c+1)q+2c+1=0$
∵直线$BC$上只存在一个点$Q$
∴$△=[-(2c+2)]²-4×1×(2c+1)=0$
∴$c=0$
∴点$P $的坐标为$(1，$$0)$
