解：$(1)$∵关于$x$的一元二次方程$x^2-2(m-1)x+\mathrm {m^2}=0$有实数根
∴$△=[-2(m-1)]^2-4\ \mathrm {m^2}=4-8m≥0$
解得$m≤\frac 12$
$(2)$∵关于$x$的一元二次方程$x^2-2(m-1)x+\mathrm {m^2}=0$的两个根分别为$x_1、$$x_2$
∴$x_1+x_2=2m-2，$$x_1x_2=\mathrm {m^2}$
∵$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=8-3x_1x_2$
∴$(x_1+x_2)^2+x_1x_2-8=0，$即$(2m-2)^2+\mathrm {m^2}-8=0$
整理得$5\ \mathrm {m^2}-8m-4=0$
解得$m_1=-\frac 25，$$m_2=2$
∵$m≤\frac 12$
∴$m$的值为$-\frac 25$
