解：$(1)$设垂直于墙的边的长为$xm，$则平行于墙的边的长为$(20-2x)m$
依题意，得$x(20-2x)=50$
整理，得$x^2-10x+ 25=0$
解得$x_1=x_2=5$
∴$20-2x=10$
∴矩形场地的长为$10m，$宽为$5m$
$ (2) $不能，理由：
设垂直于墙的边的长为$y\ \mathrm {m}，$则平行于墙的边的长为$(20-2y)m$
依题意，得$y(20- 2y)=60$
整理，得$y^2- 10y+30=0$
∵$△=(-10)^2-4×1×30=- 20<0$
∴该方程无实数根
∴不能围成一个面积为$60\ \mathrm {m^2}$的矩形场地
