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解：$(1)$煤完全燃烧放出的热量

$Q_{放}=m_{煤}q_{煤}=0.2\ \mathrm {kg}×3×10^7\ \mathrm {J/kg}=6×10^6\ \mathrm {J} $

$(2)$水吸收的热量

$Q_{吸}=Q_{放}=6×10^6\ \mathrm {J}×42\%=2.52×10^6\ \mathrm {J} $

$(3)$由图可知，在$6 {\mathrm {\mathrm {min}}} $内水升高的温度$∆t=t-t_0=80℃-20℃=60℃$，

煤炉中水的质量$m_{水}=\frac {Q_{吸}}{c_{水}∆t}=\frac {2.52×10^6\ \mathrm {J}}{4.2×10^3\ \mathrm {J/}(\mathrm {kg·℃})×60℃}=10\ \mathrm {kg}$

解：$(1)$在这个过程中水吸收的热量

$Q_{吸}=c_{水}m_{水}(t-t_0)=4.2×10^3\ \mathrm {J/}(\mathrm {kg·℃})×2\ \mathrm {kg}×(80℃-20℃)=5.04×10^5\ \mathrm {J} $

$(2)$天然气完全燃烧放出的热量

$Q_{放}=\frac {Q_{吸}}{η}=\frac {5.04×10^5\ \mathrm {J}}{36\%}=1.4×10^6\ \mathrm {J}$，

天然气的热值$q_{天然气}=\frac {Q_{放}}{V}=\frac {1.4×10^6\ \mathrm {J}}{0.035\ \mathrm {m^3}}=4×10^7\ \mathrm {J/m^3}$