解:$(1)$开关$S_{闭合}$、$S_{1}$断开时,只有$R_{1}$工作,电流表测量的是通过$R_{1}$的电流,
通过$R_{1}$的电流$I_{1}=\frac {U}{R_{1}}=\frac {6\ \mathrm {V}}{15\ \mathrm {Ω}}=0.4\ \mathrm {A} $
$(2)$开关$S$、$S_{1}$都闭合时,$R_{1}$、$R_{2}$并联,根据电流表量程可知,干路的总电流最大为$0.6\ \mathrm {A}$,
通过电阻$R_{2}$的最大电流$I_{2}=I-I_{1}=0.6\ \mathrm {A}-0.4\ \mathrm {A}=0.2\ \mathrm {A} $;
$R_{2}$两端的电压$U_{2}=U=6\ \mathrm {V}$,$R_{2}$的最小阻值$R_{2}=\frac {U_{2}}{I_{2}}=\frac {6\ \mathrm {V}}{0.2\ \mathrm {A}}=30\ \mathrm {Ω}$