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解:​$(1)$​开关​$S_{闭合}$​、​$S_{1}$​断开时,只有​$R_{1}$​工作,电流表测量的是通过​$R_{1}$​的电流,
通过​$R_{1}$​的电流​$I_{1}=\frac {U}{R_{1}}=\frac {6\ \mathrm {V}}{15\ \mathrm {Ω}}=0.4\ \mathrm {A} $​
​$(2)$​开关​$S$​、​$S_{1}$​都闭合时,​$R_{1}$​、​$R_{2}$​并联,根据电流表量程可知,干路的总电流最大为​$0.6\ \mathrm {A}$​,
通过电阻​$R_{2}$​的最大电流​$I_{2}=I-I_{1}=0.6\ \mathrm {A}-0.4\ \mathrm {A}=0.2\ \mathrm {A} $​;
​$R_{2}$​两端的电压​$U_{2}=U=6\ \mathrm {V}$​,​$R_{2}$​的最小阻值​$R_{2}=\frac {U_{2}}{I_{2}}=\frac {6\ \mathrm {V}}{0.2\ \mathrm {A}}=30\ \mathrm {Ω}$​
解:​$(1)3\ \mathrm {V} $​
​$(2)$​向右移动​$ $​根据串联分压原理可知,将定值电阻由​$10\ \mathrm {Ω}$​更换为​$15\ \mathrm {Ω}$​时,电阻增大,其分得的电压增大,为了保持电阻两端的电压不变,根据串联电路电压的规律可知,应增大滑动变阻器分得的电压,由分压原理可知,应增大滑动变阻器连入电路中的电阻,所以滑片应向右移动,使电压表的示数为​$3\ \mathrm {V}$​
​$(3)$​根据串联电路电压的规律可知,滑动变阻器分得的电压​$U_{滑}=U-U_V=4.5\ \mathrm {V}-3\ \mathrm {V}=1.5\ \mathrm {V}$​,根据分压原理得,​$\frac {U_{滑}}{U_V}=\frac {R_{滑}}{R}$​,当接入​$25\ \mathrm {Ω}$​的电阻时,滑动变阻器连入电路中的电阻​$R_{滑}=\frac {U_{滑}}{U_V} ×R=\frac {1.5\ \mathrm {V}}{3\ \mathrm {V}} ×25\ \mathrm {Ω}=12.5\ \mathrm {Ω}$​,为了完成整个实验,滑动变阻器的最大阻值至少为​$12.5\ \mathrm {Ω}$