解：$(1)$当闭合开关$S_{1}$、$S_{3}$时，$R_{3}$短路，$R_{2}$断路，电路中只有$R_{1}$，电源电压$U=U_{1}=IR_{1}=0.45\ \mathrm {A}×10\ \mathrm {Ω}=4.5\ \mathrm {V}$
$(2)$当闭合开关$S_{1}$、$S_{2}$、$S_{3}$时，$R_{1}$、$R_{2}$并联，$R_{3}$短路，通过$R_{2}$的电流$I_{2}=I'- I=1.35\ \mathrm {A}-0.45\ \mathrm {A}=0.9\ \mathrm {A}$，$R_{2}$的阻值$R_{2}=\frac {U}{I_{2}}=\frac {4.5\ \mathrm {V}}{0.9\ \mathrm {A}}=5\ \mathrm {Ω} $
$(3)$只闭合开关$S $时，$R_{2}$与$R_{3}$串联，电流表量程为$0\sim 3\ \mathrm {A}$，$R_{3}$允许通过的最大电流为$0.5\ \mathrm {A}$，所以电路中最大电流$ I_{\mathrm {max}} =0.5\ \mathrm {A}$，滑动变阻器此时接入电路的电阻最小，电路总电阻$R_{总}=\frac {U}{I_{\mathrm {max}}}=\frac {4.5\ \mathrm {V}}{0.5\ \mathrm {A}}=9\ \mathrm {Ω}$，所以滑动变阻器接入电路的最小阻值$R_{\mathrm {\mathrm {min}}}=R_{总}-R_{2}=9\ \mathrm {Ω}-5\ \mathrm {Ω}=4\ \mathrm {Ω}$；电压表量程为$0\sim 3\ \mathrm {V}$，当滑动变阻器两端的电压为$3\ \mathrm {V} $时，滑动变阻器接入电路的电阻最大，电流最小，此时电流$I_{\mathrm {\mathrm {min}}}=\frac {U_{3}}{R_{\mathrm {max}}}=\frac {U-U_{3}}{R_{2}}=\frac {4.5\ \mathrm {V}-3\ \mathrm {V}}{5\ \mathrm {Ω}}=0.3\ \mathrm {A}$，滑动变阻器接入电路的最大阻值$ R_{\mathrm {max}} =\frac {U_{3}}{I_{\mathrm {\mathrm {min}}}}=\frac {3\ \mathrm {V}}{0.3\ \mathrm {A}}=10\ \mathrm {Ω}$，所以变阻器的取值范围是$4\sim 10\ \mathrm {Ω}$
