解：$(1)$当$S_{2}$、$S_{3}$闭合，$S_{1}$断开时，灯$L_{1}$短路，电路中只有$L_{2}$，电压表示数为$7.5\ \mathrm {V}$，即电源电压为$7.5\ \mathrm {V} $
$(2)$当$S_{1}$、$S_{3}$断开，$S_{2}$闭合时，两灯泡串联，电压表测$L_{2}$两端的电压，此时电压表示数为$5\ \mathrm {V}$，则$U_{2}=5\ \mathrm {V}$，$L_{1}$两端的电压$U_{1}=U-U_{2}=7.5\ \mathrm {V}-5\ \mathrm {V}=2.5\ \mathrm {V} $
$(3)$当$S_{1}$、$S_{3}$闭合，$S_{2}$断开时，两灯泡并联，电流表$A$测总电流，电流表$A_{1}$测通过$L_{1}$的电流；通过$L_{1}$的电流$I_{1}=0.5\ \mathrm {A}$，通过$L_{2}$的电流$I_{2}=I-I_{1}=0.8\ \mathrm {A}-0.5\ \mathrm {A}=0.3\ \mathrm {A}$
