解：$(1)$当闭合$S_{1}$，断开$S_{2}$、$S_{3}$时，只有$R_{1}$接入电路，电源电压$U=IR_{1}=0.45\ \mathrm {A}×40\ \mathrm {Ω}=18\ \mathrm {V} $
$(2)$当闭合$S_{2}$，断开$S_{1}$、$S_{3}$时，$R_{1}$、$R_{3}$串联，$R_{2}$断路，$R_{1}$两端电压$U_{1}=I'R_{1}=0.3\ \mathrm {A}×40\ \mathrm {Ω}=12\ \mathrm {V}$，$R_{3}$两端电压$U_{3}=U-U_{1}=18\ \mathrm {V}-12\ \mathrm {V}=6\ \mathrm {V}$，$R_{3}$的阻值$R_{3}=\frac {U_{3}}{I'} =\frac {6\ \mathrm {V}}{0.3\ \mathrm {A}}=20\ \mathrm {Ω} $
$(3)$当闭合$S_{3}$，断开$S_{1}$、$S_{2}$时，$R_{2}$、$R_{3}$串联，$R_{1}$断路，因电流表的量程为$0\sim 0.6\ \mathrm {A}$，滑动变阻器允许通过的最大电流为$1\ \mathrm {A}$，所以电路中的最大电流$I_{大}=0.6\ \mathrm {A}$，此时滑动变阻器接入电路中的电阻最小，此时电路中的总电阻$R_{总}=\frac {U}{I_{大}}=\frac {18\ \mathrm {V}}{0.6\ \mathrm {A}}=30\ \mathrm {Ω}$，滑动变阻器接入电路中的最小阻值$R_{2}$小$=R_{总}-R_{3}=30\ \mathrm {Ω}-20\ \mathrm {Ω}=10\ \mathrm {Ω}$，当电压表的示数为$15\ \mathrm {V} $时，电路中最小电流$ I_{小}=\frac {U_{3}'}{R_{3}}=\frac {U-U_{大}}{R_{3}}=\frac {18\ \mathrm {V}-15\ \mathrm {V}}{20\ \mathrm {Ω}}=0.15\ \mathrm {A}$，则滑动变阻器接入电路的最大阻值$R_{2}$大$=\frac {U_{大}}{I_{小}}=\frac {15\ \mathrm {V}}{0.15}=100\ \mathrm {Ω}$，所以滑动变阻器接入电路的阻值范围是$10\sim 100\ \mathrm {Ω}$
