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解：​$(1)R_{1}$​的阻值​$R_{1}=\frac {U_{1}}{I}=\frac {4\ \mathrm {V}}{1\ \mathrm {A}}=4\ \mathrm {Ω} $​

​$(2)$​当滑动变阻器接入电路中的电阻最大时，电路中的电流最小，​$R_{总}=R_{1}+R_{2}=4\ \mathrm {Ω}+20\ \mathrm {Ω}=24\ \mathrm {Ω}$​，电路中的最小电流​$I_{小}=\frac {U}{总}=\frac {18\ \mathrm {V}}{24\ \mathrm {Ω}}=0.75\ \mathrm {A} (3)$​电流表量程为​$0\sim 3\ \mathrm {A}$​，而滑动变阻器允许通过的最大电流为​$2\ \mathrm {A}$​，所以，为了保证电路的安全，电路中的最大电流​$I_{大}=2\ \mathrm {A}$​，此时变阻器接入电路中的电阻最小，此时电压表示数​$U_{1大}=I_{大}R_{1}=2\ \mathrm {A}×4\ \mathrm {Ω}=8\ \mathrm {V}< 15\ \mathrm {V}$​，故电压表是安全的，则此时电路中的最小总电阻​$R_{总小}=\frac {U}{I_{大}}=\frac {18\ \mathrm {V}}{2\ \mathrm {A}}=9\ \mathrm {Ω}$​，滑动变阻器接入电路中的最小阻值​$R_{2小}=R_{总小}-R_{1}=9\ \mathrm {Ω}-4\ \mathrm {Ω}=5\ \mathrm {Ω}$​，所以变阻器​$R_{2}$​的阻值范围是​$5\sim 20\ \mathrm {Ω}$​

解：​$(1)$​当​$S_{1}$​和​$S_{2}$​都闭合时，​$R_{1}$​与​$R_{3}$​并联，​$R_{2}$​短路，电源电压​$U=I_{1}R_{1}=1\ \mathrm {A}×6\ \mathrm {Ω}=6\ \mathrm {V} $​

​$(2)$​通过​$R_{3}$​的电流​$I_{3}=1-11=2.5\ \mathrm {A}-1\ \mathrm {A}= 1.5\ \mathrm {A}$​，

​$R_{3}$​的阻值​$R_{3}=\frac {U}{I_{3}}=\frac {6\ \mathrm {V}}{1.5\ \mathrm {A}}=4\ \mathrm {Ω} $​

​$(3)$​当​$S_{1}$​、​$S_{2}$​都断开时，​$R_{1}$​和​$R_{2}$​串联，​$R_{3}$​断路，电流表​$A_{1}$​的示数​$I'=\frac {U}{R_{1}+R_{2}}=\frac {6\ \mathrm {V}}{6\ \mathrm {Ω}+4\ \mathrm {Ω}}=0.6\ \mathrm {A}$​；电压表​$V $​的示数​$U_{2}=I'R_{2}=0.6\ \mathrm {A}×4\ \mathrm {Ω}=2.4\ \mathrm {V}$​