解：$(1)$当闭合$S $和$S_{2}、$断开$S_{1}$时，$R_{3}$与$R_{2}$串联，$R_{1}$断路，$R_{2}$两端的电压$U_{2}=IR_{2}=0.3\ \mathrm {A}×12\ \mathrm {Ω}= 3.6\ \mathrm {V}，$电源电压$U=U_{2}+U_{3}=3.6\ \mathrm {V}+2.4\ \mathrm {V}=6\ \mathrm {V} $
$(2)$当闭合$S $和$S_{1}、$断开$S_{2}$时，$R_{3}$与$R_{1}$串联，$R_{2}$断路，电路中的电流$I'=\frac {U_{3}'}{R_{3}}=\frac {2.8\ \mathrm {V}}{7\ \mathrm {Ω}}=0.4\ \mathrm {A}；$$R_{1} $两端的电压$U_{1}=U-U_{3}'=6\ \mathrm {V}-2.8\ \mathrm {V}=3.2\ \mathrm {V}；$定值电阻$R_{1}$的阻值$R_{1}=\frac {U_{1}}{I'}=\frac {3.2\ \mathrm {V}}{0.4\ \mathrm {A}}=8\ \mathrm {Ω}$
$(3)$当闭合$S $和$S_{1}、$断开$S_{2}$时，$R_{3}$与$R_{1}$串联，电流表量程为$0\sim 0.6\ \mathrm {A}，$滑动变阻器$R_{3}$的规格为$“20\ \mathrm {Ω} 1\ \mathrm {A}”，$$R_{1}$标有$“0.5\ \mathrm {A}”$字样，则电路中的电流最大为$0.5\ \mathrm {A}，$此时滑动变阻器接入电路中的电阻最小，电路中最小电阻$R_{最小}=\frac {U}{I_{最大}}=\frac {6\ \mathrm {V}}{0.5\ \mathrm {A}}=12\ \mathrm {Ω}，$滑动变阻器接入电路中的最小阻值$R_{3最小}=R_{最小}-R_{1}=12\ \mathrm {Ω}-8\ \mathrm {Ω}=4\ \mathrm {Ω}；$电压表量程为$0\sim 3\ \mathrm {V}，$所以滑动变阻器两端的最大电压为$3\ \mathrm {V}，$此时滑动变阻器接入电路中的电阻最大，$R_{1}$两端的电压$U_{1小}=U-U_{3最大}=6\ \mathrm {V}-3\ \mathrm {V}=3\ \mathrm {V}，$电路中的电流$I''=\frac {U_{小}}{R_{1}}=\frac {3\ \mathrm {V}}{8\ \mathrm {Ω}}=0.375\ \mathrm {A}，$滑动变阻器接入电路中的最大阻值$R_{3最大}=\frac {U_{3最大}}{I''}=\frac {3\ \mathrm {V}}{0.375\ \mathrm {A}}=8\ \mathrm {Ω}，$所以，滑动变阻器接入电路的阻值范围是$4\sim 8\ \mathrm {Ω}$
