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$证明：∵BD//CE，$

$∴∠ABD=∠C.$

$在△ABD和△ECB中，$

${{\begin{cases}{{AB=EC}}\\{∠ABD=∠C} \\{DB=BC}\end{cases}}}$

$∴△ABD≌ECB(SAS)，$

$∴AD=EB$

$证明：设AC、DE交于点O.\ $

$∵ AB⊥BC，DC⊥BC，$

$∴∠B=∠ECD=90°.\ $

$在Rt△ABC和Rt△ECD中，$

${{\begin{cases}{{AC=ED}}\\{AB=EC} \end{cases}}}$

$∴ Rt△ABC≌Rt△ECD(HL),\ $

$∴ ∠A =∠DEC.\ $

$∵ 在Rt△ABC中,∠B=90°，$

$∴ ∠A+∠BCA=90°,$

$∴∠DEC+∠BCA=90°，$

$∴在△OEC中，∠EOC=90°，$

$∴AC⊥DE$

$证明：(1)在△ABD和△ACE中，$

${{\begin{cases} { {AB=AC}} \\{∠1=∠2} \\ {AD=AE} \end{cases}}}$

$∴△ABD≌△ACE(SAS)$

$∴BD=CE$

$(2)∵∠1=∠2$

$∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE，即∠BAN=∠CAM$

$由(1)，△ABD≌△ACE$

$∴∠B=∠C$

$在△ACM和△ABN中，$

${{\begin{cases} { {∠C=∠B}} \\{AC=AB} \\ {∠CAM=∠BAN} \end{cases}}}$

$∴△ACM≌△ABN(ASA)$

$∴∠M=∠N$