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$证明：过点C作CE⊥AB于点E，$

$作CF⊥BD交BD的延长线于点F$

$∵∠ABC=∠DBC=45°$

$∴BC为∠ABD的平分线$

$∴CE=CF$

$在四边形BECF 中，$

$∵∠EBF=90°，∠BEC=90°，∠BFC=90°$

$∴∠ECF=90°$

$∵∠ACD=90°$

$∴∠ACE+∠ECD=∠FCD+∠ECD，$

$即∠ACE=∠FCD$

$∵CE=CF，∠CEA=∠CFD=90°$

$∴△ACE≌△DCF(\mathrm {ASA})$

$∴DC=AC$

$证明：(1)过点A 作AF⊥AE$

$交BE于点F$

$∵∠AEB=45°$

$∴∠AFE=180°-90°-45°=45°$

$∴△AEF 是等腰直角三角形$

$易证得△ABF≌△ACE(\mathrm {SAS})$

$∴∠ABE=∠ACE$

$又∵∠ADB=∠EDC，∠ABE+∠ADB=90°$

$∴∠ACE+∠EDC=90°$

$∴∠BEC=90°$

$∴CE⊥BD$

$(2)（更多请点击查看作业精灵详解）$

（更多请点击查看作业精灵详解）

$解：(1)∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形$

$∴DE//AB$

$又∵M为 BE的中点$

$∴△MDE≌△MNB(\mathrm {ASA})$

$∴DE=BN=DC，DM=MN$

$∵△ABC为等腰直角三角形$

$∴AC=AB$

$∴AN=AD$

$在等腰直角△ADN中，M为DN的中点$

$∴AM⊥DM，AM=DM$

$(3)AM⊥DM，AM=DM$

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