电子课本网 › 第82页

第82页

信息发布者：

$解：连接 E E^{\prime}\ $

$∵\triangle A B E 绕点 B 顺时针旋转 90°\ $

$到 \triangle C B E^{\prime} 的位置$

$∴\angle E B E^{\prime}=90°$

$∴\triangle E B E^{\prime} 是直角三角形$

$∵\triangle A B E 与 \triangle C B E^{\prime} 全等$

$∴B E=B E^{\prime}=2，\angle A E B=\angle C E^{\prime}\ \mathrm {B}$

$∴\angle B E E^{\prime}= \angle B E^{\prime}\ \mathrm {E}=45°$

$∴E E^{\prime 2}=2^{2}+2^{2}=8，A E=C E^{\prime}=1\ $

$又 E C=3，E C^{2}=E^{\prime}\ \mathrm {C}^{2}+E E^{\prime 2}$

$∴\triangle E E^{\prime}\ \mathrm {C} 是直角三角形$

$∴\angle E E^{\prime}\ \mathrm {C}= 90°$

$∴\angle B E^{\prime}\ \mathrm {C}=\angle B E^{\prime}\ \mathrm {E}+\angle E E^{\prime}\ \mathrm {C}=135°$

$∴\angle A E B=135°\ $

$证明：(1) 由折叠的性质得 \angle C E F=\angle A E F\ $

$∵四边形 A B C D 是长方形$

$∴A D // B C$

$∴\angle A F E=\angle C E F$

$∴\angle A E F=\angle A F E$

$∴A E=A F$

$∴\triangle A E F 是等腰三角形$

$(2)设 F D=x，则 A F=8-x\ $

$∵四边形 A B C D 是长方形$

$∴A D=B C=8，A B=C D=4，\angle D=90°\ $

$由折叠的性质得 G F=F D=x$

$A G=C D=4，\angle A G F=\angle D =90°\ $

$∴在 Rt \triangle A G F 中，有 A G^{2}+G F^{2}=A F^{2}$

$即 4^2+x^{2}=(8-x)^{2}$

$解得 x=3\ $

$∴线段 F D 的长为 3\ $

$解：(2) 过点 A 作 A D \perp B C 于点 D\ $

$∵A B=A C，\angle BA C= 120°$

$∴A D 为边 B C 的中线$

$\angle A B C=\frac{1}{2}(180°-\angle BA C)= 30°\ $

$在 Rt \triangle A B D 中$

$∵A B=4，\angle A B C=30°，易得 A D= \frac{1}{2}AB=2\ $

$∴B D^{2}=A B^{2}-A D^{2}=4^{2}-2^{2}=12\ $

$∴A B \triangle A C=A D^{2}- B D^{2}=2^{2}-12=4-12=-8\ $

$过点 B 作 B E \perp A C，交 CA 的延长线于点 E$

$取 A C 的中点 F，连接 B F$

$∴A F=\frac{1}{2}AC=2$

$\angle B EA=90°$

$\angle A B E=\angle BA C-\angle B EA=120°-90°=30°\ $

$在 Rt \triangle A B E 中$

$∵A B=4，\angle A B E=30°，易得 A E=\frac{1}{2}AB=2\ $

$∴B E^{2}=A B^{2}-A E^{2}=4^{2}-2^{2}=12\ $

$在 Rt \triangle B E F 中$

$∵B E^{2}=12，E F=A E+A F=2+2=4$

$∴B F^{2}=B E^{2}+E F^{2}=12+16=28\ $

$∴BA \triangle B C=B F^{2}-A F^{2}=28-4=24\ $

$(3)（更多请点击查看作业精灵详解）$