$解： (1) 设 B D=2x，A D=3x，C D=4x，则 A B=5x$
$在 Rt \triangle A C D 中，A C^{2}=A D^{2}+C D^{2}，$
$∴A C=5x，∴A B=A C$
$∴\triangle A B C 是等腰三 角形$
$(2)\ \mathrm {S}_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} ×5x ×4x=40，而 x\gt 0$
$∴x=2，则 B D=4 \mathrm{cm}，A D=6 \mathrm{cm}，$
$C D=8 \mathrm{cm}，A C=10 \mathrm{cm}\ $
$①当 M N// B C 时，A M=A N，即 10-t=t，∴t=5\ $
$当 D N //\ \ B C 时，A D=A N，得 t=6\ $
$∴若 \triangle D M N 的边与 B C 平行，则 t 的值为 5 或 6\ $
$②能$
$当点 M 在 B D 上，即 0 \leqslant t\lt 4 时，\triangle M D E 为钝角三角形$
$但 D M \neq D E\ $
$当 t=4 时，点 M 运动到点 D，不构成三角形$
$当点 M 在 DA 上，即 4＜t≤10，△MDE为等腰三角形$
$有 3 种可能$
$若 D E=D M，则 t-4=5，∴t=9\ $
$若 E D= E M，则点 M 运动到点 A，∴t=10\ $
$若 M D=M E=t-4 . 过点 E 作 E F \perp A B 于 F$
$∵E D=EA，∴D F=A F=\frac{1}{2}\ \mathrm {A}\ \mathrm {D}=3 \mathrm{cm}$
$在 Rt \triangle A E F 中，E F=4 \mathrm{cm}$
$∵B M=t，B F=7 \mathrm{cm}，∴F M=|t-7|\ $
$在 Rt \triangle E F M 中，(t-4)^{2}-(t-7)^{2}=4^{2}$
$∴t=\frac{49}{6}\ $
$综上所述，符合要求的 t 值为 9 或 10 或 \frac{49}{6}\ $
