解：$(2)$由$(1)$得$m=5$
∴$y=-\frac {1}{2}x+5$
∴$A(10$，$0)$，$B(0$，$5)$
∵$C(2$，$4)$
∴$S_{△BOC}=\frac {1}{2}×5×2=5$
设$M(a$，$-\frac {1}{2}a+5)$
∵$S_{△AOM}=2S_{△BOC}=10$
∴$S_{△AOM}=\frac {1}{2} ×10×|-\frac {1}{2}a+5|=10$
解得$a=6$或$a=14$
∴点$M$的坐标为$(6$，$2)$或$(14$，$-2)$
$(3)$当$l_1//l_3$或$l_2//l_3$时，$l_1$，$l_2$，$l_3$不能围成三角形
∴$k=-\frac {1}{2}$或$k=2$
当$l_3$过点$C(2$，$4)$时，$l_1$，$l_2$，$l_3$不能围成三角形，
将点$C$的坐标代入$y=kx+2$并解得$k=1$
综上，$k$的值为$-\frac {1}{2}$或$2$或$1$
