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$证明：在Rt△AFB和Rt△CED中\begin{cases}{AB=CD}\\{AF= CE}\end{cases}$

$∴Rt△AFB≌Rt△CED(\mathrm {HL})，∴BF= DE$

$在Rt△BFM和Rt△DEM中$

$\begin{cases}{∠ BMF=∠ DME}\\{∠BFM=∠ DEM}\\{BF=DE}\end{cases}$

$∴△BFM≌△DEM(\mathrm {AAS})$

$∴MB= MD，ME= MF，∴线段EF 与BD互相平分$

$证明：作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F$

$由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥ AC，∴DE=DF$

$∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠ FCD= 180°$

$∴∠B=∠FCD$

$在△DFC和△DEB中$

$\begin{cases}{ ∠FCD=∠B }\\{∠F=∠DEB} \\ {DF=DE} \end{cases}$

$∴△DFC≌△DEB(\mathrm {AAS})$

$∴DC=DB$

$解：(1)如图所示$

$(2)证明：①∵AD= AB+CD，AF=AB，∴DF= DC$

$又∵DE平分∠ADC，∴∠FDE=∠CDE$

$在△FED和△CED中$

$\begin{cases}{DF=DC}\\{∠FDE=∠CDE}\\{DE= DE}\end{cases}$

$∴△FED≌△CED(\mathrm {SAS})，∴EC= EF$

$②由①得∠DFE=∠DCE=90°，∠DEF=∠DEC，∴∠AFE= 180°-∠DFE=90°$

$∵AF=AB，AE=AE，∴Rt△AFE≌Rt△ABE(\mathrm {HL})$

$∴∠AEB=∠AEF$

$∴∠AED=∠AEF+∠DEF=\frac {1}{2}(∠CEF+∠BEF)=90°，∴AE⊥DE$