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$证明:(2)∵AP 平分∠CAM,∴∠DAE=∠CAE$
$∵CE⊥AP,∴∠AED=∠AEC= 90°$
$在△AED和△AEC中$
$\begin{cases}{∠DAE=∠CAE}\\{AE=AE} \\ {∠DEA=∠CEA} \end{cases}$
$∴△AED≌△AEC$
$∴CE= ED$
$解:(2)存在,当P 为BC的中点时,AQ⊥CQ$
$由(1)知,△ABP≌△ACQ$
$∴∠APB=∠AQC$
$∵P 为BC的中点,△ABC为等边三角形$
$∴AP⊥BC,即∠APB=90°$
$∴∠AQC=90°$
$∴AQ⊥QC$
$即当P 为BC的中点时,AQ⊥CQ$
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$解:(3)∵△ABF≌△CBF$
$∴AF=FC,AB=BC$
$∵∠AFC=∠ADC=90°,∠AGF=∠CGD$
$∴∠FAG=∠FCE$
$在△AFG 和△CFE中$
$\begin{cases}{∠AFG=∠CFE}\\{AF=CF}\\{FAG=∠FCE}\end{cases}$
$∴△AFG≌△CFE(\mathrm {ASA})$
$∴AG=EC=4.5$
$∵BE=3$
$∴BC=BE+EC=7.5$
$∴AB=BC=7.5$
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