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$ \begin{aligned}解：原式&=(a²-a+1-a)[a²-a-(1-a)] \\ &=(a²-2a+1)(a²-a-1+a) \\ &=(a-1)²(a²-1) \\ &=(a-1)²(a+1)(a-1) \\ &=(a-1)³(a+1) \\ \end{aligned}$

$解：因为a(a+1)-(a²+2b)=1$

$所以a-2b=1$

$所以a²-4ab+4b²-2a+4b$

$=(a-2b)²-2(a-2b)$

$=1-2$

$=-1$

$解：因为x²-y²=20$

$则[(x-y)²+4xy][(x+y)²-4xy]$

$=(x+y)²(x-y)²$

$=[(x+y)(x-y)]²$

$=(x²-y²)²$

$=400.$

$解：(1)因为(a-b)²≥0，所以a²-2ab+b²≥0$

$所以a²+b²≥2ab.$

$(2)①因为P=(a+b)²，Q=4ab$

$所以P-Q=(a+b)²-4ab=(a- b)²≥0$

$所以P≥Q$

$②因为m、n是有理数，且mn=2$

$所以3m²+3n²-1=3(m²+n²)-1$

$≥3×2mn-1=6mn-1=12-1=11$

$故3m²+3n²-1的最小值是11.$

(m+1)(m-5)

(a-4)(a+7)

$ 解：(2)①由题意，得$

$-x²+6x-16=-(x²-6x+16)$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=-(x²-6x+9-9+16) $

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=-(x-3)²-7 $

$因为(x-3)²≥0，所以-(x-3)²≤0$

$所以-(x-3)²-7≤-7，所以当x=3时$

$-x²+6x-16的值最大，最大值为-7$

$②M=a²+2b²-2a+4b+2023$

$=(a²-2a+1)+(2b²+4b+2)+2020$

$=(a-1)²+2(b+1)²+2020$

$因为(a-1)²≥0，(b+1)²≥0$

$所以M≥2020，所以M的最小值为2020.$

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