$解：(1)如图①，连接CD.$
$因为点B的坐标为(0,6), 所以OB=6.$
$因为 BC=10，所以 OC=BC-OB=4.$
$由翻折的性质,得 AD=CD,AB=BC=10.$
$因为∠AOB=90°，所以由勾股定理得OA= \sqrt{AB²-OB²}=8.$
$设OD=x，则 CD=AD=OA-OD=8-x.$
$因为∠COD=90°，所以由勾股定理得OD²+OC²=CD²，即x²+4²=(8-x)²，解得x=3.$
$所以OD=3，即点D的坐标为(3，0).$
$设直线 BD 的函数表达式为y=kx+b.$
$把B(0,6),D(3,0)分别代入y=kx+b，$
$得\begin{cases}{b=6，}\\{3k+b=0，}\end{cases}解得\begin{cases}{k=-2，}\\{b=6.}\end{cases}$
$所以直线BD的函数表达式为y=-2x+6.$
$(3)存在. 因为点 F 在直线BD 上，S_{△ABD}= S_{△AB},$
$所以B是FD 的中点$
$当点C在y轴负半轴上时，$
$由(1)得点D 的坐标为(3,0)，且点B 的坐标为(0，6)，$
$所以点 F 的坐标为(-3，12);$
$当点C在y轴正半轴上时.$
$同理，得点 D的坐标为( 12，0)，$
$所以点F的坐标为(12,12).$
$综上，点F的坐标为(-3,12)或(12,12).$
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