$解：(2)将∠EDF绕点D旋转，(1)中的关系成立.$
$理由如下:如图，过点D分别作DM⊥AC于点M,DN⊥BC于点N,连接CD.$
$同(1)得DM=DN,∠EDF = 90°, 则∠DMC = ∠DNC =∠DNF=∠ACB=90°.$
$所以∠MDN=360°-∠DMC-∠ACB-∠DNC=90°，即∠MDN=∠EDF.\ $
$所以∠MDN-∠EDN=∠EDF-∠EDN,即∠MDE=∠NDF.$
$所以△DME≌△DNF(\mathrm {ASA}).$
$所以DE=DF.$
$(3)EF²=AE²+BF².证明如下:$
$如图，过点 D分别作DM⊥AC于点M,DN⊥BC于点N,连接CD.$
$由(2)得△DME≌△DNF,DM=DN,DE=DF.$
$所以ME=NF.$
$因为DE⊥DF，所以∠EDF=90°.$
$所以由勾股定理，得 DE²+DF²=EF²,即 EF²=2DE².\ $
$因为 AC=BC,∠ACB=90°,$
$所以∠A=∠B=45°,$
$又因为∠A+∠ADM= 90°, ∠B + ∠BDN = 90°,\ $
$所以∠ADM =∠A =∠B = ∠BDN, 即 AM=DM=DN=BN.$
$设ME=NF=x,$
$则 DM=AM=AE-x,DN=BN=BF+x.$
$因为AM=BN，所以AE-x=BF+x，解得x=\frac{AE-BF}{2}.$
$所以ME=\frac{AE-BF}{2}.\ $
$所以 DM=AE-x=\frac{AE+BF}{2}.\ $
$在Rt△DME中， 由勾股定理得DE²=DM²+ME²=(\frac{AE+BF}{2})^2+(\frac{AE-BF}{2})^2=\frac{AE²+BF²}{2}，$
$所以AE²+BF²=2DE²=EF².$
