第95页 - 数学 - 电子课本网

$ AC=\frac {2\sqrt{3}}{3}DE$

$(2)解：在Rt△BAE，∠AEB=90°，∠EBA=30°，$

$AB=4$

$∴AE=AB×sin∠EBA=\frac12AB=2，∠BAE=60°$

$延长DE交AB于点F，如图所示$

$∴EF=AE×sin∠BAE=\frac {\sqrt{3}}{2}×2=\sqrt{3}，AF=\frac12AE=1$

$∴BF=AB-AF=4-1=3，$

$由（1）可得AC=\frac {2\sqrt{3}}{3}DE$

$∴DE=\frac {\sqrt{3}}{2}AC=\sqrt{3}，$

$∴DF=DE+EF=2\sqrt{3}$

$在Rt△BFD中，BD=\sqrt{BF^2+DF^2}$

$=\sqrt{3^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{21}$

$∵△ABC∽△EBD$

$∴\frac {BC}{BD}=\frac {AC}{DE}=\frac {2\sqrt{3}}{3}$

$∴BC=\frac {2\sqrt{3}}{3}×\sqrt{21}=2\sqrt{7}$

$即BC=2\sqrt{7}$

$(3)（更多请点击查看作业精灵详解）$

$(1)解：∵A（\sqrt{3}，0），B（0，1）$

$∴OA=\sqrt{3}，OB=1$

$由折叠的性质可得OA′=OA=\sqrt{3}$

$在Rt△A′OB中，A′B=\sqrt{OA′^2-OB^2}=\sqrt{2}$

$∴点A′的坐标为（\sqrt{2}，1）$

$(2)（更多请点击查看作业精灵详解）$

$(2)解：在Rt△ABO中，OA=\sqrt{3}，OB=1$

$∴AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=2$

$∵P是AB的中点$

$∴AP=BP=1，OP=\frac12AB=1$

$∴OB=OP=BP$

$∴△BOP是等边三角形$

$∴∠BOP=∠BPO=60°$

$∴∠OPA=180°﹣∠BPO=120°$

$由折叠的性质得：∠OPA'=∠OPA=120°，PA'=PA=1$

$∴∠BOP+∠OPA'=180°$

$∴OB//PA'$

$又∵OB=PA'=1$

$∴四边形OPA'B是平行四边形$

$∴A'B=OP=1$

$(3)解：如图所示，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠EAB=90°，∠EBA=30°，连接BE，EA，ED，EC，$

$在Rt△BDC中，∠DBC=30°，$

$在Rt△BAE中，∠EAB=90°，∠EBA=30°，∴△ABE∽△CBD$

$∴∠ABE=∠CBE$

$∴∠ABC=∠EBD$

$\frac {DB}{EB}=\frac {BC}{BA}$

$∴△BDE∽△BCA$

$∴\frac {DE}{AC}=\frac {BD}{BC}=\frac {2\sqrt{3}}{3} $

$∵AC=2$

$∴DE=\frac {4\sqrt{3}}{3}$

$在Rt△AEB中，AB=4$

$AE=AB×tan∠EBA=4×\frac {\sqrt{3}}{3}=\frac {4\sqrt{3}}{3}$

$∴D在以E为圆心，\frac {4\sqrt{3}}{3}为半径的圆上运动$

$∴当点A，E，D三点共线时，AD的值最大，此时$

$如图所示，则AD=AE+DE=\frac {8\sqrt{3}}{3}$

$在Rt△ABD中$

$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4^2+(\frac {8\sqrt{3}}{3})^2}=\frac {4\sqrt{21}}{3}$

$∴cos ∠BDA=\frac {AD}{BD}=\frac {\frac {8\sqrt{3}}{3}}{\frac {4\sqrt{21}}{3}}=\frac {2\sqrt{7}}{7}$

$sin∠BDA=\frac {AB}{BD}=\frac {4}{\frac {4\sqrt{21}}{3}}=\frac {\sqrt{21}}{7}$

$∵∠BEA=90°$

$∴∠BED=90°$

$∵△ABC∽△EBD$

$∴∠BDE=∠BCA$

$过点A做AF⊥BC于点F$

$∴CF=AC×cos∠ACB=2×\frac {2\sqrt{7}}{7}=\frac {4\sqrt{7}}{7}$

$AF=AC×sin∠ACB=\frac {2\sqrt{21}}{7}$

$∵∠DBC=30°$

$∴BC=\frac {\sqrt{3}}{2}BD=\frac {\sqrt{3}}{2}×\frac {4\sqrt{11}}{3}=2\sqrt{7}$

$∴BF=BC-CF=2\sqrt{7}-\frac {4\sqrt{7}}{7}=\frac {10\sqrt{7}}{7}$

$在Rt△AFB中，tan ∠CBA=\frac {AF}{BF}=\frac {\frac {2\sqrt{21}}{7}}{\frac {10\sqrt{7}}{7}}=\frac {\sqrt{3}}{5}$