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$解：(1)如图所示$

$(2)设长方体的高为a\ \mathrm {cm}，则宽为2a\ \mathrm {cm}，长为4a\ \mathrm {cm}$

$根据题意得，4(a+2a+4a)=56(\ \mathrm {cm})$

$解得：a=2$

$∴这个长方体的高为2\ \mathrm {cm}，宽为4\ \mathrm {cm}，长为8\ \mathrm {cm}$

$∴这个长方体盒子的体积为：2×4×8=64(\ \mathrm {\ \mathrm {cm^3}})$

$解：(3)A与D对面，C与E对面，B与F对面$

$A+D=a^2+2a+1+2(3-a)=a^2+7$

$∴E=a^2+7-(a^2-1)=8$

$∴F=a^2+7-(4-b^2)=a^2+b^2+3$

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$解：如图，AC_{1}为最短路线$