解：$(1)$如果从家到锦州北站的路程为$10\ \mathrm {km}$，开车用时$20 \mathrm {\mathrm {min}}$，则从家到锦州北站的平均速度$v=\frac {s}{t}=\frac {10\ \mathrm {km}}{\frac {20}{60}\ \mathrm {h}}=30\ \mathrm {km/h}.$
$(2)$由题意及列车时刻表可知，火车从锦州北站正点$6∶18$发车，$7∶58$到达沈阳南站，所用时间$ t ' =7∶58-6∶18=1\ \mathrm {h}40 \mathrm {\mathrm {min}} =\frac {5}{3}\ \mathrm {h}$，全程的平均速度约为$150\ \mathrm {km/h}$，则火车行驶的路程$s'=v't'=150\ \mathrm {km/h}× \frac {5}{3}\ \mathrm {h}=250\ \mathrm {km}.$
$(3)$如果小明$8∶10$在沈阳南站乘出租车出发，从沈阳南站到科技馆的路程为$6.0\ \mathrm {km}$，出租车的平均速度是$36\ \mathrm {km/h}$，所用时间$ t ''=\frac {s''}{v''}=\frac {6.0\ \mathrm {km}}{36\ \mathrm {km/h}}=\frac {1}{6}\ \mathrm {h}=10 \mathrm {\mathrm {min}}$，$8∶10$出发，$8∶20$到达，即$8∶30$之前能到达科技馆
