解:$(1) $若列车按设计时速行驶,从大连到沈阳需要的时间$ t_{1}=\frac {s_{1}}{v_{1}}=\frac {380\ \mathrm {km}}{250\ \mathrm {km/h}}=1.52\ \mathrm {h}.$
$(2)$线路开通前,从大连到沈阳需要的时间;$t_{2}=t_{1}+0.5\ \mathrm {h}=1.52\ \mathrm {h}+0.5\ \mathrm {h}=2.02\ \mathrm {h}$,平均速度$v_{2}=\frac {s_{1}}{t_{2}}=\frac {380\ \mathrm {km}}{2.02\ \mathrm {h}} ≈188\ \mathrm {km/h}.$
$(3)$列车完全通过隧道行驶的路程$s=vt=50\ \mathrm {m/s}×44\ \mathrm {s}=2200\ \mathrm {m}$,则隧道的长度$L_{隧道}=s-L_{车}=2200\ \mathrm {m}-200\ \mathrm {m}=2000\ \mathrm {m}.$