解：$(1)$由题意可知，火车在$5\ \mathrm {s} $内经过的路程是$150\ \mathrm {m}($即等于火车的长度$)$，
则这列火车行驶的速度：$v=\frac {s_1}{t_1}=\frac {150\ \mathrm {m}}{5\ \mathrm {s}}=30\ \mathrm {m/s}=108\ \mathrm {km/h}$；
$(2)$火车从$A$地到$B$地需用时间：$t_2=\frac {s_2}{v}=\frac {270\ \mathrm {km}}{108\ \mathrm {km/h}}=2.5\ \mathrm {h}$；
$(3)$火车$1 \mathrm {\mathrm {min}}$通过的路程；$s_3=vt_3=30\ \mathrm {m/s}×1×60\ \mathrm {s}=1800\ \mathrm {m}$，
则这条隧道长$L_{隧道}=s_3-L_{车}=1800\ \mathrm {m}-150\ \mathrm {m}=1650\ \mathrm {m}.$
