解：$(1)$由图可知，汽车的最大行驶速度$v=100\ \mathrm {km}$，标志牌到庆阳的距离$s=120\ \mathrm {km}$，
由$v=\frac {s}{t}$可知，在不违规的前提下，
汽车从标志牌处行驶到庆阳至少需要的时间：$t=\frac {s}{v}=\frac {120\ \mathrm {km}}{100\ \mathrm {km/h}}=1.2\ \mathrm {h}$；
$(2)$汽车的速度$v_1=90\ \mathrm {km/h}$，行驶时间$t_1=0.4\ \mathrm {h}$，
由$v=\frac {s}{t}$可知，汽车通过的路程：$s_1=v_1\ \mathrm {t}_1=90\ \mathrm {km/h}×0.4\ \mathrm {h}=36\ \mathrm {km}$；
$(3)$小明家到庆阳的路程$s_2=340\ \mathrm {km}$，汽车行驶的时间：$t_2=4\ \mathrm {h}$，
汽车行驶的平均速度：$v_2=\frac {s_2}{t_2}=\frac {340\ \mathrm {km}}{4\ \mathrm {h}}=85\ \mathrm {km/h}.$
