解：$(1) $由图可知，从停靠站到机场站需要行驶$26 \mathrm {\mathrm {min}}$，则地铁在此区间内的平均速度$v_{1}=\frac {s_{1}}{t_{1}}=\frac {23.6\ \mathrm {km}}{\frac {26}{60}\ \mathrm {h}}≈54.5\ \mathrm {km/h}.$
$(2)$从地铁站台到柜台的路程$s_{2}= v_{2}t_{2}=1.5\ \mathrm {m/s}×6×60\ \mathrm {s}=540\ \mathrm {m}.$由题意及图可知，小红到达机场的时间约为$10∶26$，步行$6$分钟后即$10∶.32$到达值机柜台，依据航空公司规定，小红这班飞机最晚办理值机的时间为$ 10∶30$，则小红来不及办理值机， 不能赶上飞机，如果想在$10∶30$及时赶到柜台，则最多用时$t_{3}=10∶30-10∶26=4 \mathrm {\mathrm {min}}=240\ \mathrm {s}$，她的速度至少为$ v_{3}=\frac {s_{2}}{t_{3}}=\frac {540\ \mathrm {m}}{240\ \mathrm {s}}=2.25\ \mathrm {m/s}.$
