$解：(1)设DE=x，则AE=20-x.$
$由题意知CD=EF=AB=4，$
$根据长方体纸盒的意义，$
$得到2(4+x)=20-x，$
$解得x=4.\ $
$所以DE=EF=FC=CD=4，$
$故底面的周长为DE+EF+FC+CD=16.$
$(2)若a=4，题图④中，设DE=x，则EG=GF=2，$
$AE=2(x+2)，根据AE+DE=AD，得2(x+2)+x=20，$
$解得x=\frac{16}{3}.$
$所以底面的周长为2(x+2)=2×\frac{22}{3}=\frac{44}{3}$
$题图⑤中，设DE=x，则EF=GH=4，AE=2(\frac x2+4)$
$根据AE+DE=AD，得2(\frac x2+4)+x=20，解得x=6.$
$所以底面的周长为2(\frac x2+4)=14.$
$②有可能相等，当a=5时相等，理由如下：$
$题图④中，设DE=x，则EG=GF=\frac{a}{2}，$
$AE=2(x+\frac{a}{2})$
$根据AE+DE=AD，得2(x+\frac a2)+x=20，解得x=\frac{20-a}{3}.$
$所以底面的周长为2(x+\frac{a}{2})=2(\frac{20-a}{3}+\frac{a}{2})$
$=\frac{40-2a}{3}+a=\frac{40+a}{3}$
$题图⑤中，DE=x，则EF=GH=a，AE=2(\frac x2+a)，$
$根据AE+DE=AD，得2(\frac{x}{2}+a)+x=20，$
$解得x=10-a$
$所以底面的周长为2(\frac{x}{2}+a)=x+2a=10+a$
$根据两种方案的底面周长相等，得$
$10+a=\frac{40+a}{3}，解得a=5.$
