第158页 - 经纶学典学霸七年级数学上下册【江苏国标】

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150

100

180°

360°

540°

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$解：(2)∠DCE=∠AEC+∠A.理由如下：$

$延长DC交AE于点F，如图②，$

$因为AB//CD，$

$所以∠CFE=∠A.$

$因为∠DCE=180°-∠ECF=180°-(180°-∠AEC-∠CFE)=∠AEC+∠CFE$

$所以∠DCE=∠AEC+∠A$

$解：(3)如图③，$

$因为∠DMF是△CFM的外角，$

$所以∠DMF=180°- ∠FMC=180°-(180°-∠FCD-∠F)=∠FCD+∠F.$

$因为AB//CD，$

$所以∠BAF=∠DMF=∠FCD+∠F；$

$因为AF平分∠BAE，$

$所以∠BAE=2∠BAF=2∠FCD+2∠F.$

$由(2)可得，∠DCE=∠BAE+∠E，$

$因为∠FCD=\frac{1}{6}∠ECD，$

$所以∠ECD=6∠FCD，$

$所以6∠FCD=2∠FCD+2∠F+∠E.$

$因为∠E=30°，∠AFC=40°，$

$所以∠FCD=27.5°.$

$解：(3)如图③，过点F作FG//AB，$

$因为AB//CD，$

$所以AB//CD//FG,\ $

$所以∠BFG=∠ABF，∠GFD=∠CDF.$

$因为∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，$

$所以∠BFD=\frac{1}{2}(∠ABE+∠CDE).又因为∠ABE+∠E+∠CDE=360°，∠E=140°，$

$所以∠ABE+∠CDE=220°，$

$所以∠BFD=110°.$

$解：(1)如图①，延长DC交AB于点F，$

$因为∠BCD+∠BCF=180°， ∠BCF+∠BFC+∠FBC=180°，$

$所以∠BCD=∠BFC+∠FBC，$

$所以∠BFC=∠BCD-∠ABC.$

$因为∠CDE+∠BCD-∠ABC=180°，$

$即∠CDE+∠BFC=180°，$

$所以AB//DE(同旁内角互补，两直线平行).\ $

$解：(2)①因为PD//BC，$

$所以∠2=∠3.$

$又因为∠ABC=2∠3，∠ABC= ∠1+∠2，∠1=α，$

$所以∠1=∠2=∠3=α，∠ABC=2$

$因为DG平分∠EDC，∠CDG+∠C=180°，$

$所以\frac{1}{2}∠EDC+∠C=180°，$

$所以∠EDC=360°-2∠C.$

$因为∠EDC+∠BCD-∠ABC=180°，$

$即∠EDC=180°-∠C+2a，$

$所以360°-2∠C=180°-∠C+2α，$

$即∠C=180°-2a$

$②∠1=∠2，理由如下：$

$如图②，过点C作CH平分∠BCD交DG于H，则∠4=∠5=\frac{1}{2}∠BCD\ $

$因为DG平分∠EDC，$

$所以∠CDG=\frac{1}{2}∠EDC，$

$所以∠5+∠CDG=\frac{1}{2}(∠BCD+∠EDC).$

$又因为∠CDE+∠BCD-∠ABC=180°，$

$所以∠5+∠CDG=\frac{1}{2}(180°+∠ABC)=90°+\frac{1}{2}∠ABC，$

$所以∠PHC=90°+\frac12∠ABC$

$因为∠3+\frac12∠BCD=90°，$

$所以∠3+∠4=90°，$

$所以∠PBC=360°-∠3-∠4-∠PHC=360°-90°-90°-\frac{1}{2}∠ABC=180°-\frac{1}{2}∠ABC.$

$又因为∠PBC+∠2=180°，$

$所以∠2=\frac{1}{2}∠ABC，$

$所以∠1=∠2.$