解：$(1)$拉力做的有用功$W_{有用}=Gh=15\ \mathrm {N}×0.2\ \mathrm {m}=3\ \mathrm {J}$，由$η=\frac {W_{有用}}{W_{总}}×100\%$可得，拉力做的总功$W_{总}=\frac {W_{有用}}{η}=\frac {3\ \mathrm {J}}{75\%}=4\ \mathrm {J}$，由数学知识可知，拉力端移动的距离$s=2h=2×0.2\ \mathrm {m}=0.4\ \mathrm {m}$，则由$W_{总}=Fs $可得，手的拉力$ F=\frac {W_{总}}{s}=\frac {4\ \mathrm {J}}{0.4\ \mathrm {m}}=10\ \mathrm {N}.$
$(2)$转动过程中的摩擦不计，则额外功为克服硬棒的重力做的功，$W_{额外}=W_{总}-W_{有用}=4\ \mathrm {J}-3\ \mathrm {J}=1\ \mathrm {J}$，由于$W_{额外}=G_{棒}\ \mathrm {h}$，即$ 1\ \mathrm {J}= G_{棒}×0.2\ \mathrm {m}$，则硬棒自身的重力$G_{棒}=5\ \mathrm {N}. $
$(3)$若将物块向靠近$0$点的方向移动，将物块提升相同高度所做有用功不变，但需要把杠杆提升更高的高度，所做的额外功增加，所以杠杆的机械效率将变小
