解:$(1)$根据电路图可知,当$S_1$闭合、$S_2$和$S_3$都断开时,$L_1$、$L_2$串联,电流表$A_1$和$A_2$都测量电路中的电流,
电流表$A_1$的示数如图乙所示,该电流表选用小量程,分度值为$0.02\ \mathrm {A}$,则$A_1$的示数为$0.1\ \mathrm {A}$,
因串联电路中电流处处相等,故电流表$A_1$和$A_2$的示数相等,都等于$0.1\ \mathrm {A}$;电流表$A$处于断路状态,因此其示数为$0\ \mathrm {A}$;
$(2)$当$S_2$和$S_3$闭合、$S_1$断开时,两灯并联,电流表$A$测干路电流,$A_1$、$A_2$分别测$L_1$和$L_2$支路的电流,
因并联电路中干路电流等于各支路电流之和,
所以当$S_2$和$S_3$闭合、$S_1$断开时,电流表$A_1$的示数:$I_{A_{1}}=I_{A}-I_{A_{2}}=0.7\ \mathrm {A}-0.3\ \mathrm {A}=0.4\ \mathrm {A}$;
$(3)$当$S_1$、$S_2$和$S_3$同时闭合时,电流从电源正极流出,直接从$S_1$、$S_3$回到电源负极,故发生电源短路,电源将被烧坏.