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解析：​$ (1) $​当闭合开关​$ S$​、​$S_{1}$​、​$S_{2}$​，移动滑动变阻器的滑片​$ P $​至最右端时，灯泡和滑动变阻器的最大阻值并联，电流表​$A_{1}$​测通过灯泡的电流，电流表​$A$​测千路电流，由并联电路的电流规律可得，此时通过滑动变阻器的电流​$ I_{2}=I-I_L=1.7\ \mathrm {A}-0.5\ \mathrm {A}=1.2\ \mathrm {A}$​，由欧姆定律可得，滑动变阻器的最大阻值​$R_{2}=\frac {U}{I_{2}}=\frac {12\ \mathrm {V}}{1.2\ \mathrm {A}}=10\ \mathrm {Ω}.$​

​$(2) $​当闭合开关​$S$​、断开开关​$S_{1}$​、​$S_{2}$​，移动滑动变阻器的滑片​$ P $​至中点处时，电阻​$R_{1} $​和滑动变阻器​$R_{2}$​最大阻值的一半串联，电流表​$A$​测电路中的电流，由欧姆定律可得，此时电路中的电流​$I'=\frac {U}{R_{1}+\frac 12R_{2}}=\frac {12\ \mathrm {V}}{5\ \mathrm {Ω}+\frac 12×10\ \mathrm {Ω}}=1.2\ \mathrm {A}$​，即电流表​$A$​的示数为​$ 1.2\ \mathrm {A}.$​

解：$(1)(2)U=I(R_{1}+R_{2})=\frac {12\ \text {V}}{R_{1}}×(R_{1}+10\ Ω)①$

$ U=I'(R_{1}+R_{2}')=\frac {8\ \text {V}}{R_{1}}×(R_{1}+20\ Ω)②$

联立①②，解得$R_1=10 \ \mathrm {Ω}$，$U=24\ \text {V}$

$ (3)R_{2\ \text {min}}∶R_{1}=U_{2\ \text {min}}∶U_{1\ \text {m}ax}=(24-15)\ \text {V}∶ 15\ \text {V}$

$ $得$R_{2\ \text {min}}=\frac 35R_{1}=\frac 35×10\ Ω=6 \ Ω$